複利の本質──幾何平均・ボラティリティ・再投資率で決まる「長期の勝ち方」実装ガイド

「長く持てば増える」は半分正しく、半分は誤解です。長期で効くのは“算術平均リターン”ではなく、価格の軌跡（ボラティリティ）と再投資率を織り込んだ幾何平均リターンです。この記事では、複利の本質を数式の直感から実務設計まで一気通貫で解説します。今日から月1万円を積み立てる初心者でも、明日から実装できるレベルまで落とし込みます。

複利の誤解をほどく──「平均リターン＝未来」ではない
幾何平均リターン g とボラティリティ・ドラッグ
1. 直感で理解するミニ例
手数料・税・信託報酬が g を削る構造
ドルコスト平均法（DCA）vs 一括投資──いつどちらが有利か
定額積立の数式と「再投資率」
リバランスはなぜ複利を助けるのか（リバランス・ボーナス）
ドローダウンの非対称性と資金管理
レバレッジと「最適リスク」──ケリーの直感を使う
レバレッジETFの減価とコンベクシティ
実務テンプレ：月1万円からの「複利設計」
5つのミニ実例（数値はイメージ）
よくある誤解と反例
アクションチェックリスト（今日からできる）
まとめ

複利の誤解をほどく──「平均リターン＝未来」ではない

教科書的な説明では、年率5%を20年複利で…と語られがちですが、現実の価格は上下動します。上下動（ボラティリティ）があると、同じ算術平均リターンでも最終資産は大きく変わります。理由は掛け算の世界では下落のダメージが非対称だから。−50%のあとに＋50%でも元に戻りません（0.5×1.5＝0.75）。この非対称性を捉えるのが幾何平均です。

幾何平均リターン g とボラティリティ・ドラッグ

連続複利の近似では、期待幾何平均リターン g は

g ≈ μ − ½·σ²

と書けます（μ＝算術平均年率、σ＝年率ボラ）。同じμでもσが高いほど g は小さくなり、長期の増え方が鈍ります。逆に、同じリスク量（σ）でμを少しだけ引き上げられれば、複利の総和は大きく変わります。したがって、投資の実務目標は「高いμ」を追うだけでなく、“μ−½σ²”を最大化するポートフォリオ設計に置き換わります。

直感で理解するミニ例

ケースA：+10% → −10% → +10% → −10%（平均0%）でも、価格は 1×1.10×0.90×1.10×0.90＝0.9801 と目減りします。
ケースB：+5% → +5% → +5% → +5%（平均5%）は 1×1.05^4＝1.2155 と増えます。

ボラティリティは「複利の漏れ」を生みます。だからこそ、分散とリバランスが効くのです。

手数料・税・信託報酬が g を削る構造

複利は“ネットの成長率”で回ります。売買コスト、スプレッド、信託報酬、貸株料、為替コスト、税（配当課税・譲渡益課税）などがμを押し下げ、結果として g を削ります。以下は実務で意識すべきチェックポイントです。

コスト年率：信託報酬0.2%でも20年で約4%分の元本に相当する複利差が出る。
トラッキング差：インデックスETFは「信託報酬＋実運用要因」で指数からズレます。長期では累積差が無視できません。
税と再投資：配当課税後に再投資するか、非課税枠での再投資かで g が変わる。分配方針も効きます。
売買回転：売買が多いほどスプレッド・スリッページ・課税の複利負担が増す。意図的に回転率を抑える設計を。

ドルコスト平均法（DCA）vs 一括投資──いつどちらが有利か

DCAは価格の上下動を平均化し、タイミング依存を弱める戦略です。一方、期待リターンが正の資産では一般に「早く投下した方が有利」なので、一括投資の期待値が高くなりやすい。鍵はリスク（σ）と投資家の行動特性です。

一括優位：長期のリスクプレミアムが高く、ボラが過度でない場合。投資厚みを早く乗せるほど g を稼ぎやすい。
DCA優位：ボラが大きく、短期の下落耐性に不安がある場合。破綻確率（途中離脱）を下げる行動ファイナンス上の効果が大きい。

結論：期待値の最大化だけでなく、継続性の最大化で手法を選ぶのが現実解です。続けられない戦略は g を高めません。

定額積立の数式と「再投資率」

毎月一定額Aを年率 g（幾何）で M ヶ月複利運用すると、将来価値（FV）はおおよそ

FV ≈ A × ((1 + g/12)^M − 1) / (g/12)

で近似できます。ここで g は実効的な年率──つまり費用や税金、ボラティリティ・ドラッグを差し引いた後の成長率です。配当は「税引き後でどれだけ再投資に回るか（再投資率）」で g に効いてきます。

リバランスはなぜ複利を助けるのか（リバランス・ボーナス）

相関の低い資産を組み合わせ、定期的に比率を戻すと「高い方を売り、低い方を買う」が機械的に発生します。これは平均回帰がある環境で特に有効で、g を押し上げる追加的な寄与（リバランス・ボーナス）を生みます。ポイントは以下。

相関が低いほど、ボラが高すぎないほど、ボーナスは増えやすい。
リバランス頻度は「月次〜年次」。高頻度はコスト増で逆効果になり得る。
ドローダウン時にルールで買い増すため、行動面の支えにもなる。

ドローダウンの非対称性と資金管理

−X%の損失を取り戻すには 1/(1−X) − 1 の上昇が必要です（例：−50%→＋100%）。この非対称性は、初期資本を守ることが g を守ることに直結する理由です。よって、損切りルール・分散・ボラ目標化は“守りの複利装置”です。

レバレッジと「最適リスク」──ケリーの直感を使う

レバレッジは μ を押し上げますが σ も増やします。g≈μ−½σ² を最大化する最適レバレッジはザックリ言えば「ケリー比率 f* ≈ μ/σ²」の発想に近い（厳密には分布仮定や取引コストを要考慮）。過剰レバは g を下げ、道中の破綻確率を跳ね上げます。個人は「フル・ケリーの半分以下」を目安に抑えるのが通例です。

レバレッジETFの減価とコンベクシティ

レバレッジETFは日次で倍率を維持するため再調整され、ボラが高いとボラティリティ・ドラッグが顕在化します。同じ長期の指数水準でも、道中の荒さ次第で基準価額が大きく乖離し得ます。利用するなら、イベント限定・期間限定・ボラ目標化の枠内に収めるのが現実的です。

実務テンプレ：月1万円からの「複利設計」

① 目的と期限を明文化

目的：教育資金 / 老後資金 / 住宅頭金 / 旅行など。到達時期（例：15年後）を決める。
必要額：目標額を現在価値に直し、毎月積立額のレンジを算出。

② リスク予算（目標ボラ）を決める

年率ボラの目標を設定（例：8%）。過去データや常識的な範囲で仮置き。
目標ボラに合わせて株式・債券・現金・REIT・金などの比率を決める。

③ プロダクトを選定

低コスト・広範分散のインデックスファンド/ETFを主軸に。重複・高コストは避ける。
配当再投資の可否、為替ヘッジ有無、運用会社の実績、トラッキング差を確認。

④ 積立オートメーション

毎月の自動入金と自動積立設定。手を動かさない仕組みを先に作る。
権利・配当再投資（DRIP）やポイント投資も併用可。

⑤ リバランス・ルール

年1回（もしくは乖離±20%ルール）で自動/半自動の再配分。
税制優遇口座内でのリバランスを優先、課税コスト最小化。

⑥ 可視化とレビュー

月次で「評価額、拠出額、実効 g、ドローダウン、ボラ」を記録。
想定リスクからの乖離が大きければ配分・積立額を調整。

5つのミニ実例（数値はイメージ）

全世界株インデックス積立：μ=7%、σ=15%、g≈7−½×15²=7−112.5/100=−4.25%（※ボラ大の単純化例）。分散＋債券10〜30%でσ低減→g改善。
60/40＋年1回リバランス：単独μは低下もσが下がり、gが上がるケース。過去データでは「荒い株式単独＜適切に分散したポート」。
配当再投資：税引後再投資率80%→g+α、受取現金化100%→g低下。目的に合わせて比率を決める。
DCA vs 一括：期待値は一括優位。ただしDCAは最大ドローダウンを浅くし離脱確率を下げる。初期の心的安全性を買う手法。
ボラ目標化：月次で株式比率を調整し年率8%ボラ目標。過度な荒れ局面で自動的にリスクを絞り g を守る。